geometri

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Masalah Dalam pembelajaran Matematika, kita mengenal berbagai macam permasalahan. Permasalahan tersebut dapat berupa logika atau abstrak. Salah satunya adalah dalam Ruang Tiga Dimensi. Dalam makalah ini kami berusaha menjelaskan dan menerangkan tentang beberapa permasalahan pada Bangun Ruang Tiga Dimensi.Kami juga menyertakan beberapa latihan soal. Sehingga dapatdigunakan sebagai bahan latihan masing-masing.

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana kedudukan titik, garis dan bidang dalamruang?

2. Bagaimana cara menggambar bangun ruang ?

3. Apakah besar sudut pada bangun ruang ?

C. Tujuan Penulisan

Agar setiap mahasiswa ampu memahami tentang titik, garis, bidang dan sudut dalam pembelajaran geometri.

BAB II

PEMBAHASAN

A.              KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI TIGA

Pengertian Titik, Garis, dan Bidang

1.     Titik   

Titik adalah unsur geometri yang paling sederhana. Akan tetapi “titik” bukan main pentingnya, sebab semua unsur lainnya terdiri dari titik-titik. Titik adalah sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Titik biasanya direpresentasikan dengan sebuah noktah( ) , dan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar 1.1 diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q.

B	Q
Titik B	Titik Q
Gambar 1.1

2. Garis

Garis adalah himpunan titik-titik yang anggotanya adalah dua titik atau lebih. Titik-titik tersebut berderet ke kedua arah yang berlawanan sampai jauh tak terhingga. Model atau representasi suatu garis misalnya seutas benang kecil lurus yang dapat diperpanjang kedua arah yang berlawanan sampai jauh tak terhingga. Garis hanya mempunyai ukuran panjang. Garis diberi nama dengan menggunakan huruf kecil seperti g, h, k, dan seterusnya, atau AB, AC, BC, dan seterusnya. Pada gambar 1.2 diperlihatkan dua buah garis, yaitu garis h dan garis AC.

B

g

Garis g	A	Garis AB
	Gambar 1.2

3. Bidang

Bidang adalah himpunan titik-titik, lebih dari dua buah titik dan tidak semuanya terletak pada sebuah garis. Pada sebuah bidang, terdiri dari banyak sekali garis. Model sebuah bidang adalah permukaan sebuah meja rata misalnya yang dapat diperlebar ke semua arah. Bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar. Bidang diberi nama dengan menyebutkan titik-titik sudut dari bidang tersebut atau memakai huruf α, β, γ , dan seterusnya. Pada gambar 1.3 diperlihatkan dua buah bidang, yaitu bidang α dan bidang ABCD.

D                                     C

α

A                                 B

Bidang α                                         Bidang ABCD

Gambar 1.3

2. Kedudukan Titik dan Garis Titik Terletak pada Garis

Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis. Perhatikan gambar 1.4.

B

g

Titik B terletak pada garis g

Gambar 1.4

a.          Titik di Luar Garis

Sebuah titik dikatakan terletak di luar garis, jika titik tersebut tidak dapat dilalui garis. Perhatikan gambar 1.5.

h	C

Titik C terletak di luar garis h

Gambar 1.5

Contoh:

Diketahui kubus KLMN.OPQR.

a.      Sebutkan titik-titik yang terletak pada ruas garis KL.

b.     Sebutkan titik-titik yang terletak di luar ruas garis KL.

Jawab:
	R	Q
O		P

N

M

K                                 L

a.      Titik-titik yang terletak pada ruas garis KL adalah titik K dan L.

b.     Titik-titik yang terletak di luar ruas garis KL adalah titik N, M, Q, R, O, dan P.

3.   Kedudukan Titik dan Bidang Titik Terletak pada Bidang

Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang, jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang. Perhatikan gambar 1.6.

 B

α

Titik B terletak pada bidang α

Gambar 1.6

a.     Titik di Luar Bidang

Sebuah titik dikatakan terletak di luar bidang, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang. Perhatikan gambar 1.7.

D

α

Titik D terletak di luar bidang α

Gambar 1.7

Contoh:

Diketahui kubus ABCD.EFGH.

a.      Sebutkan titik-titik yang terletak pada bidang DCGH.

b.     Sebutkan titik-titik yang terletak di luar bidang DCGH.

	H	G
E		F

D

C

A                                 B

Jawab:

a.      Titik-titik yang terletak pada bidang DCGH adalah titik D, C, G dan H.

b.     Titik-titik yang terletak di luar bidang DCGH adalah titik A, B, F, dan E.

4.               Kedudukan Dua Garis Dua Garis Sejajar

Dua buah garis dikatakan sejajar, jika dua buah garis tersebut sebidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. Perhatikan gambar 1.8.

l

k

α

Garis k dan l sejajar

Gambar 1.8

a.     Dua Garis Berpotongan

Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika dua buah garis tersebut sebidang dan mempunyai satu titik persekutuan, yang dinamakan titik potong. Perhatikan gambar 1.9.

l

E

k

α

Garis k dan l berpotongan

Gambar 1.9

2. Dua Garis Berimpit

Dua garis dikatakan berimpit, jika jarak antara kedua garis tersebut adalah nol. Perhatikan gambar 1.10.

l

α                        ^k

Garis k dan l berimpit

Gambar 1.10

3. Dua Garis Bersilangan

Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika dua buah garis tersebut tidak sebidang atau melalui kedua garis tersebut tidak dapat dibuat sebuah bidang datar. Perhatikan gambar 1.11.

g

h

α

Garis g dan h bersilangan

Gambar 1.11

Contoh:

Diketahui kubus KLMN.OPQR

a.      Sebutkan tiga pasang ruas garis yang sejajar.

b.     Sebutkan tiga pasang ruas garis yang berpotongan.

c.      Sebutkan tiga pasang ruas garis yang bersilangan.

Jawab:
R	Q
O	P
N	M
K	L

a.      KL sejajar NM, KL sejajar RQ, dan KL sejajar OP.

b.     KN berpotongan dengan MN, KM berpotongan dengan LN, dan KQ berpotongan dengan LR.

c.      KO bersilangan dengan MN, KN bersilangan dengan LP, dan KR bersilangan dengan MQ.

5.     Kedudukan Garis dan Bidang Garis Terletak pada Bidang

Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika setiap titik pada garis tersebut juga terletak pada bidang. Perhatikan gambar 1.12.

B

g

A

α

Garis g terletak pada bidang α

Gambar 1.12

a.     Garis Sejajar Bidang

Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang tidak mempunyai satu pun titik persekutuan. Perhatikan gambar 1.13.

g

α

Garis g sejajar bidang α

Gambar 1.13

b.        Garis Memotong (Menembus) Bidang

Sebuah garis dikatakan memotong (menembus) bidang, jika garis dan bidang mempunyai satu titik persekutuan yang dinamakan titik potong atau titik tembus. Perhatikan gambar 1.14.

g

A

α

Garis g memotong bidang α di titik A

Gambar 1.14

Contoh:

Diketahui kubus ABCD.EFGH

a.      Sebutkan empat ruas garis yang terletak pada bidang ABCD.

b.     Sebutkan empat ruas garis yang sejajar bidang ADHE.

c.      Sebutkan dua ruas garis yang memotong (menembus) bidang DBFH.

Jawab:
H	G
E	F
D	C
A	B

a.      Ruas garis-ruas garis yang terletak pada bidang ABCD adalah ruas garis AB, BC, CD, dan AD.

b.     Ruas garis-ruas garis yang sejajar bidang ADHE adalah ruas garis BC ,FG, BF, dan CG.

c.      Ruas garis-ruas garis yang memotong (menembus) bidang DBFH adalah ruas garis EC dan AG.

6.     Kedudukan Dua Bidang Dua Bidang Berimpit

Dua bidang dikatakan berimpit, jika setiap titik terletak pada kedua bidang. Perhatikan gambar 1.15.

α ,β

Bidang α dan bidang β berimpit

Gambar 1.15

a.     Dua Bidang Sejajar

Dua bidang dikatakan sejajar, jika kedua bidang tersebut tidak mempunyai satu pun titik persekutuan. Perhatikan gambar 1.16.

α

β

Bidang α dan β sejajar

Gambar 1.16

b.     Dua Bidang Berpotongan

Dua bidang dikatakan berpotongan, jika kedua bidang tersebut mempunyai sebuah garis persekutuan. Perhatikan gambar 1.17.

g

β

α

Bidang α dan β berpotongan

Gambar 1.17

12

Contoh:

Diketahui kubus KLMN.OPQR

a.      Sebutkan dua pasang bidang yang sejajar.

b.     Sebutkan dua pasang bidang yang berpotongan.

Jawab:
R	Q	R	Q
O	P	O	P
N	M	N	M
K	L	K	L

a.      Bidang KLMN sejajar dengan bidang OPQR dan bidang LMQP sejajar dengan bidang KNRO.

b.     Bidang KLQR berpotongan dengan bidang OPMN dan bidang OLMR berpotongan dengan bidang PQNK.

1. Sudut

Sudut adalah ruang yang dibuat oleh dua garis yg berpotongan di sekitar titik potongnya, atau bisa diartikan juga sebagai penjuru atau pojok. Sudut juga dapat dibentuk dari dua sinar yang titik pangkalnya berimpit. Suatu sudut diberi nama dengan:

1.     satu huruf kapital sesuai dengan nama titik sudutnya.

2.     Tiga huruf kapital, nama titik sudutnya ditulis di tengah di antara dua huruf yang lain.

C                                                                  K

N

A                        B                                              L

Pada gambar di atas, huruf A dan K adalah nama titik sudut, maka tempat penulisannya harus di tengah.

Misalnya :       (a)       BAC,     CAB, atau     A; dan

(b)       MKN,     NKM, dan    K.

Satuan besar sudut dapat dinyatakan dalam derajat atau dalam radian. Satuan besar sudut dalam derajat dapat diukur dengan alat busur derajat.

Jika pusat suatu lingkaran dibagi menjadi empat bagian sama besar maka setiap bagian sudut pusat tersebut besarnya 90  atau   /2 radian. Sudut yang besarnya 90  disebut sudut siku-siku.

Macam-macam sudut:

(a)   Sudut siku-siku, yaitu sudut yang besarnya 90 .

(b)  Sudut lancip, yaitu sudut yang besarnya antara 0 dan 90 derajat.

(c)   Sudut tumpul, yaitu sudut yang besarnya antara 90  dan 180 derajat.

(d)  Sudut lurus, yaitu sudut yang kedua kakinya membentuk garis lurus, atau sudut yang besarnya 180 .

Sudut siku-siku			Sudut lancip	Sudut tumpul
	B	L	K
		Sudut lurus
Dua sudut yang jumlah besarnya 90  disebut saling berpenyiku.
A = 65		dan    B =     35	dikatakan saling berpenyiku karena 65 + 35 = 90 .

Dua sudut yang jumlah besarnya 180  disebut saling berpelurus.

P = 86 dan   K =   94    saling berpelurus karena jumlahnya 86 + 94 = 180 . Sudut yang besarnya lebih dari 180disebut sudut refleks.

Sudut Refleks

BAB III

PENUTUP

1. Kesimpulan

Ini hanyalah sebagian kecil permasalahan dalam matematika.Permasalahan matematika tidak lah mencakup hal yang sempittetapi juga mencakup hal lain yang lebih luas.Demikian yang dapat kami paparkan mengenai materi yangmenjadi pokok bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyakkekurangan dan kelemahannya, kerena terbatasnya pengetahuandan kurangnya rujukan atau referensi yang ada hubungannyadengan judul makalah ini.Penulis banyak berharap para pembaca yang budiman dusimemberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demisempurnanya makalah ini dan dan penulisan makalah dikesempatan-kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini bergunabagi penulis pada khususnya juga para pembaca yang budiman padaumumnya.